Действия с числовыми множествами презентация. Презентация по математике "множества и операции над ними"

Обычно множества обозначают большими
буквами: A,B,X N ,…, а их элементы –
соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n…
В частности, приняты следующие обозначения:
ℕ – множество натуральных чисел;
ℤ – множество целых чисел;
ℚ – множество рациональных чисел;
ℝ – множество действительных чисел (числовая
прямая).
– множество комплексных чисел. И верно
следующее:
N Z Q R C

Как правило, элементы множества обозначаются
маленькими буквами, а сами множества - большими.
Принадлежность
элемента
m
множеству
M
обозначается так: m M, где знак является
стилизацией первой буквы греческого слова
(есть, быть),
знак непринадлежности:

Множества могут быть конечными, бесконечными и
пустыми.
Множество, содержащее конечное число элементов,
называется конечным.
Если множество не содержит ни одного элемента, то
оно называется пустым и обозначается Ø.
Например:
множество студентов 1курса - конечное множество;
множество звезд во Вселенной - бесконечное
множество;
множество
студентов,
хорошо
знающих
три
иностранных
языка
(японский,
китайский
и
французский), видимо, пустое множество.

Способы задания множеств

Существуют три способа задания множеств:
1) описание множества
Примеры: Y={yΙ1≤y ≤10} –множество значений у из
отрезка
X={xIx>2} – множество всех чисел х, больших 2.
2) перечисление множества
Примеры:
А={а,б,в}- три начальные буквы русского
алфавита
N={1,2,3…}-натуральные числа
3)графическое задание множеств происходит с
помощью диаграмм Эйлера-Венна

Заданы два множества:
и
Если элементов множеств немного, то
они могут на диаграмме указываться явно.

Множество А называют подмножеством множества В
(обозначается А В), если всякий элемент
множества А является элементом множества В:
см.рис 1.1
Рис. 1.1
При этом говорят, что В содержит А, или В покрывает А
Невключение множества С в множество В,
обозначается так:

Множества А и В равны (А=В) тогда и только
тогда, когда, А В и В А, т. е. элементы множеств
А и В совпадают.
Пример: А={1,2,3}, B={3,2,1}, C={1,2,3,3}- равны.
Множество С – это множество А, только в нем
элемент 3 записан дважды.
Пример: А={1,2}, B={1,2,3}- НЕ РАВНЫ
Семейством множеств называется множество,
элементы которого сами являются множествами.
Пример: А={{Ø},{1,2},{3,4,5}}- семейство, состоящее
из трех множеств.
Каждое непустое подмножество А≠ Ø имеет по
крайней мере два различных подмножества: само
множество А и Ø.

Множество
А
называется
собственным
подмножеством множества В, если А В, а В А.
Обозначается так: А В.
Например,
Принято считать, что пустое множество является
подмножеством любого множества.
Мощностью конечного множества М называется число
его элементов. Обозначается M
Например, B =6. A =3.

Операции над множествами

Объединением (суммой) множеств А и В
(обозначается А В) называется множество С тех
элементов, каждый из которых принадлежит хотя
бы одному из множеств А или В. Возможны три
случая:
1) А=В;
2) множества имеют общие элементы;
3) множества не имеют общих элементов.
Примеры:
1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А В= {1,2,3}.

А В={1,2,3,4,5,6}
3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А В={1,2,3,4,6,8}

Рассмотренные случаи наглядно
проиллюстрированы на рисунке
А,В
А
В
А
В

Пересечением множеств А и В
называется новое множество С,
которое состоит только из элементов
одновременно принадлежащих,
множествам А, В
Обозначение С=А В
Возможны три случая:
1) А=В
2) множества имеют общие элементы
3) множества не имеют общих
элементов.

Примеры:
1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А В=
{1,2,3}.
2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда
А В={2,3}
3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А В=

Разностью множеств А и В называется
множество С, состоящее из элементов
принадлежащих только множеству А и
не принадлежащих В.
Обозначение: С=А\В

Даны два множества:
А={1,2,3,b,c,d},В={2,b,d,3}.
Тогда:
A B={1,2,3,b,c,d}
B подмножество А
А/В={1,c}
A B={2,3,b,d}

Свойства:
1. Коммутативность объединения А B=B A
2. Коммутативность пересечения А В=В А
3. Сочетательный закон A (B C)=B (A C)
4. То же и для пересечения.
5. Распределительный относительно пересечения
А (В C) = A В A С
6. Распределительный относительно объединения
А (B С) = (А B) (A C)
7. Закон поглощения А (A В)=А
8. Закон поглощения А (А B)=A
9. А A=А
10. A А=A

Декартовое (прямое) произведение А и В - это
новое множество С, состоящее из упорядоченных
пар, в которых первый элемент пары берется из
множества А, а второй из В.
А={1,2,3}
В={4,5}
С=А В = {(1,4);(1,5);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5)}
Мощность декартова произведения равна
произведению мощностей множеств А и В:
А В = А ∙ В

A B ≠ В А, кроме если А=В (в этом случае
равенство выполняется)
Дано:
Координатная числовая ось Х.х (- ,+).
Координатная числовая ось Y.у (- ,+).
D=Х Y
Декартовое произведение двух осей - точка
на плоскости.
Рассмотрим декартовое произведение,
которое обладает свойством
коммутативности. А={Иванов, Петров}
В={высокий, худой, сильный}
А В= Иванов высокий, Иванов худой,
Иванов сильный, Петров высокий, Петров
худой, Петров сильный

В этой презентации «Множество. Элемент множества» школьники 7-го класса смогут подробно рассмотреть значение одноименных понятий в математике. После титульного листа с названием темы на 2-ом слайде приведены примеры множеств. На самом деле их может быть огромное количество, но не это главное. Данные примеры дают учащимся понять, что множество - это, в первую очередь группа схожих объектов, объединенная в одно целое, а, соответственно, и название она несет сплоченное.

слайды 1-2 (Тема презентации "Множество. Элемент множества", пример)

На третьем слайде объясняется, что множество может применяться четными, натуральными, а также дробными числами. Для каждой ситуации приведен конкретный пример. В этом же разделе с помощью иллюстрации пятиугольника разъясняется, что собой представляет элемент множества. Это наглядное изложение материала позволяет школьникам легче представить абстрактные понятия предмета.

Далее отдельный слайд посвящен множеству простых чисел. Для лучшего понимания данного материала приведено несколько примеров, в которых простые числа являются заключенными в заданном множестве. Это необходимо для того, чтобы ученик усвоил, что во множестве могут быть заключены как одно или более простых чисел, так и вовсе может и не быть ни одного простого числа в нем. В итоге разговор сводится к тому, что в математике есть еще одно понятие под названием «пустое» множество.

слайды 3-4 (примеры. определение делителя)

На следующем слайде кратко показано с помощью иллюстраций правильное обозначение множества. Оно может быть записано как в буквенной, так и в числовой форме в зависимости от заданных элементов множества.

Далее в учебной презентации следует информация о дальнейших видах множества. Оно может также применяться с целыми, натуральными и рациональными числами. В приведенных к данному слайду примерах можно легко понять, каким образом стоит считать элементы принадлежащими ко множеству или, наоборот, не принадлежащими.

слайды 5-6 (примеры)

Далее речь пойдет о свойствах множества. В процессе подачи этого материала школьникам будет доступно объяснено, в чем состоит суть такого понятия, как «характеристическое свойство множества». Для того, чтобы у школьников была возможность более точно запомнить определение этого математического явления, расшифровка его значения будет дана на слайде презентации.

После этого дается пример о кратком написании множества заданных чисел. В данном примере даны все 14 целых чисел. Кроме того, ученику объясняется, как можно описать в краткой форме то, что множество может быть больше или же меньше выходящего за его границы натурального числа.

слайды 7-8 (определение характеристических свойств, примеры, вопросы)

Поняв вышеуказанный материал, дальше школьники учатся записывать множество вместе с заданными переменными. На следующем слайде приведен уже совершенно иной пример. Он касается множества кратных чисел. В примере присутствуют 5 чисел, кратные 5-ти. А ниже них указано выражение с переменными, соответствующее этому множеству.

слайды 9-10 (определение характеристических свойств, примеры, вопросы)

Затем последний слайд презентации позволяет учащимся решить более сложную задачу . Сначала дано выражение с переменными множества С , а ниже под ним числовое выражение множества D . Суть этого задания в том , что нужно найти числовое выражение множества С с учетом того , что оба множества между собой равны , то есть обладают одними и теми же элементами множества .

После того , как учащиеся справятся с поставленной задачей , презентация урока «Множество . Элемент множества » будет завершена , и ученики смогут начать задавать вопросы по пройденному материалу . Такой вид урока станет довольно эффективным инструментом ¸ используемом в учебных программах по предмету «Математика » за счет своей простоты и наглядности .